Факультатив з математики

17, 24   листопада  2021  (по  2 години)

Група № 1П 

Факультатив

Тема уроку: Тригонометричні нерівності, що зводяться до квадратних

1. Передивіться відео урок за посиланням:

2. Повторіть теорію

Рішення тригонометричних нерівностей.

Основна частина тригонометричних нерівностей вирішується зведенням їх до рішення простих

(sin x > а, sin x < а, cos x > а, cos x < а, tg x > 0 і так далі).

Це може бути метод розкладання на множники, заміна змінного

(u = sin x, t = cos x і так далі),

де спочатку вирішується звичайна нерівність, а потім нерівність виду

t1≤ sin x ≤ t2,

чи інші способи.

Нехай f(x) - одна з основних тригонометричних функцій. Для вирішення нерівності f(x) > a a досить знайти його рішення на одному періоді, тобто на будь-якому відрізку, довжина якого дорівнює періоду функції f(x). Тоді рішенням початкової нерівності будуть усі знайдені х, а так само ті значення, які відрізняються від знайдених на будь-яке ціле число періодів функції.
Найпростіші тригонометричні нерівності.
До них належать нерівності вигляду
sin x ≷ m,cos x ≷ m,tg x ≷ m,ctg x ≷ m.
1. Нерівність sin x ˃ m.Якщо m < -1, то розв'язком нерівності є будь-яке дійсне число.Якщо -1 < m < +1, то розв'язками нерівності є
2πk + arcsin m < x < π (2k + 1) - arcsin m, де k = 0; ±1; ±2; ...

На рисунку

штриховою позначені значення х, що задовольняють нерівність

sin x ˃ m при -1 ≤ m < +1.
Якщо m ≥ -1, то нерівність розв'язків не має.
2. Нерівність sin x < m.Якщо m ≤ -1, то нерівність розв'язків не має.Якщо -1 < m < +1, то розв'язками нерівності єπ (2k + 1) - arcsin m < x < arcsin m + 2π (k + 1),де k = 0; ±1; ±2; ...

на рисунку

значення х, що задовольняють нерівність

sin x < m,
не заштриховані.Якщо m ˃ +1, то нерівність справедлива при всіх дійсних значеннях х.
3. Нерівність cos x ˃ m.Якщо m < -1, то розв'язком нерівності є будь-яке дійсне число.Якщо -1 ≤ m < +1, то розв'язки нерівності знаходяться в проміжках
-arccos m + 2πk < x < 2πk + arccos m,де k = 0; ±1; ±2; ...
Якщо m ≤ -1, то нерівність розв'язків не має.
4. Нерівність cos x < m.Якщо m≤-1, то нерівність розв'язків не має.Якщо -1 < m≤+1, то розв'язки нерівності є значення х з проміжків
arccos m + 2πk < x < 2π (k + 1) - arcsin m,де k = 0; ±1; ±2; ...
Якщо m˃ +1, то розв'язком нерівності є будь-яке дійсне число.
5. Нерівність tg x ˃ m має розв'язками значення х з проміжків
arctg m + πk < x < π/2 (2k + 1),де k = 0; ±1; ±2; ...
6. Нерівність tg x < m має розв'язками значення х з проміжківπ/2 (2k - 1) < x < arctg m + πk,де k = 0; ±1; ±2; ...
7. Нерівність сtg x ˃ m має розв'язками значення х з проміжківπk < x < arcсtg m + πk< x < π (k + 1),де k = 0; ±1; ±2; ...
8. Нерівність сtg x < m має розв'язками значення х з проміжків
arcсtg m + πk< x < π (k + 1),де k = 0; ±1; ±2; ...Розв'язання тригонометричних нерівностей.
Будемо розглядати нерівності виглядуf (sin x, cos x, tg x, ctg x) ≷ m.
Якщо функціяf (sin x, cos x, tg x, ctg x)
Періодична, то досить знайти розв'язки на відрізку числової осі, що дорівнює за довжиною найменшому періоду функції f, а потім, користуючись періодичністю функції, записати нерівності на всій числовій осі.Розглянемо кілька простих тригонометричних нерівностей.ПРИКЛАД:Розв'язати нерівність:
cos2 x - 3 cos x < 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:Розкладемо ліву частину нерівності на множники
cos x(cos x - 3) < 0.Враховуючи, що
cos x - 3 < 0При всіх значеннях х, одержуємо
cos x > 0, звідки- π/2 + 2πk < x < π/2 + 2πk,де k = 0; ±1; ±2; ...

ПРИКЛАД:

Розв'язати нерівність:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дана нерівність еквівалентна до нерівностей
-1 < tg х/2 < 1або
- π/4 + πk < х/2 < π/4 + πk,Звідки
- π/2 + 2πk < x < π/2 + 2πk,де k = 0; ±1; ±2; ...

ПРИКЛАД:

Розв'язати нерівність:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Звільнившись від знака абсолютної величини, маємо
sin x ˃ + 1/2 абоsin x < - 1/2.З першої одержаної нерівності знаходимоπ/6 + 2πk < x < π(2k + 1) - π/6,а з другої -π/6 + π(2k + 1) < x < 2π(k + 1) - π/6.Розв'язки цих двох нерівностей можна об'єднати і остаточну відповідь записати у виглядіπ/6 + π/k < x < 2π(k + 1) - π/6.де k = 0; ±1; ±2; ...

ПРИКЛАД:Розв'язати нерівність:
sin2 x + 2 sin x соs x - 3 соs 2 x < 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:Поділивши обидві частини даної нерівності на
соs2 x ≠ 0 (присоs2 x = 0нерівність набуває вигляду
sin2 x < 0,що неможливо), одержуємо
tg2 x + 2 tg x - 3 < 0, або(tg x + 3) (tg x - 1) < 0.Звідси знаходимо
-3 < tg x < +1 і, отже,
-arctg 3 + πk < x < π/4 + πk.

ВІДПОВІДЬ:-arctg 3 + πk < x < π/4 + πk.де k = 0; ±1; ±2; ...

15, 22 листопада 2021 

Група № 3П 

Факультатив

Тема уроків: Найпростіші задачі з параметрами. Розв'язування задач.

1. Передивіться відео урок за посиланням:

2. Запишіть у зошит

Алгоритм розв'язування задач з параметрами

1. Встановити область допустимих значень (ОДЗ) змінної та ОДЗ параметрів.

2. Виразити змінну через параметри.

3. Для кожного допустимого значення параметра знайти множину значень рівняння (розв'язків даної нерівності).

4. Дослідити особливі значення параметра, при яких корені рівняння існують, але не виражаються формулами,які дістали.

До найпростіших рівнянь з параметрами відносяться лінійні рівняння з параметрами. Розглянемо деякі приклади розв'язування рівнянь з параметрами.

№ 1. Розв'язати рівняння: ax - 2= x+ a.

Розв'язання:

В ліву частину перенесемо доданки з х: ax - x = a + 2. Винесемо за дужки x : x(a - 1) = a + 2.

a) a = 1, 0x = 2 б) a ≠ 1, x =

x{Ø}

Відповідь: якщо а = 1 , то х {Ø} ; якщо а ≠ 1, то x = .

№ 2. Розв'язати рівняння: ax = 3x - a + 3.

Розв'язання:

Перенесемо доданки з х в ліву частину: ax - 3x = 3 - a

Винесемо за дужки х: (a - 3)x = 3 - a

а) a = 3, 0x = 0 б) a ≠ 3, x =

x є R x = - 1

Відповідь: якщо а = 3 , то х є R; якщо а ≠ 3 , то х = -1.

№ 3. Розв'язати рівняння: ах + 5 = х + 5а.

Розв'язання:

Перенесемо доданки з х в ліву частину: ах - х = 5а-5

Винесемо х за дужки: х(а - 1) = 5а- 5

а) а = 1, 0х = 0 б) a ≠ 1, x =

х є R x = 1

Відповідь: якщо а = 1,то х є R; якщо а ≠ 1,то х = 1.

№ 4. Розв'язати рівняння: ax - 3x = - 9.

Розв'язання:

Винесемо за дужки х і розкладемо на множники праву частину рівняння:

( a - 3 ) x = ( a - 3 )( a + 3)

Розглянемо усі можливі значення х в залежності від значень параметра:

a) a = 3, 0x = 0 b) a ≠ 3, x = a + 3

x є R

Відповідь: якщо a = 3 ,то x є R; якщо a ≠ 3 ,то x = a + 3.

№ 5. Розв'язати рівняння: 3( х - а ) = 6(х - b).

Розв'язання:

3х - 3а = 6х - 6b; 3x = 6b+3a

якщо а є R, b є R, то х =

Відповідь: якщо а є R, b є R, то х = .

 Дистанційне навчання.

Група 2П                              10, 17  листопада 2021 р.

Тема уроків:    Розкладання многочленів на множники

1. Передивіться відео урок за посиланням:

    Дистанційне навчання.

Група  1П                       1,  8,  15  листопада 2021 р.

Тема уроку: Розв'язування тригонометричних рівнянь та нерівностей

1. Передивіться відео урок за посиланням

 Дистанційне навчання.

Група 1П                 25 жовтня  2021 р.

1. Передивіться відео урок за посиланням:

Дистанційне навчання.

Математика. Факультатив за 22.10. 2021 та 29.10. 2021

Гр..№3П

Тема: Розв'язування задач, подібних до тих, які будуть на ЗНО.

Мета: Формувати навички розв'язування задач.

Розвивати допитливість, пам'ять.

І. Самостійна робота над завданням: