Алгебра і початок аналізу

03, 17 пистопада 2021

Група № 2П

Алгебра і початки аналізу (2 години)

Тема уроку: Періодичність функцій. Властивості та графіки тригонометричних функцій. Розв'язання задач і вправ. Самостійна робота.

1. Передивіться відео урок за посиланням:

www.youtube.com/watch?v=WsliUuNHUok

2. Законспектувати в зошиті і вивчити

Областю визначення синуса і косинуса є множина всіх дійсних чисел. Областю визначення тангенса є множина всіх дійсних чисел, крім чисел

Областю визначення котангенса є множина всіх дійсних чисел, крім чисел

Областю значень синуса і косинуса є проміжок [-1;1].

Областю значень тангенса і котангенса є множина всіх дійсних чисел.

Приклад 1. Чи існує таке значення х, при яких виконується рівність:

Розв'язання. 1) Оскільки то існує таке значення х, при якому

2) Оскільки - < -1, то не існує значення х, при якому соsx = -.

Приклад 2. Знайдіть область значень функції:

Розв'язання. 1) Маємо -1 ≤ cos x ≤ 1. Віднімемо від усіх частин цієї подвійної нерівності число 3. Маємо тобто Отже, областю значень функції є проміжок [-4;-2].

2) Зрозуміло, що sin2 x ≥ 0. 3 іншого боку Додамо до усіх частин цієї нерівності число 1. Маємо тобто Отже, областю значень функції є проміжок [1;2].

Синус кута а є ординатою точки Р α(х;у) одиничного кола (мал. 19). У І та II чвертях у > 0, а у III та IV чвертях у < 0. Тому sin α > 0, якщо α - кут І або II чверті, і sin α < 0, якщо α - кут III або IV чверті.

Косинус кута α є абсцисою точки Р α(х;у) одиничного кола (мал. 19). У І та IV чвертях х > 0, а у II та III чвертях х < 0. Тому cos α > 0, якщо α - кут І або IV чверті, і cos α < 0, якщо α - кут II або III чверті.

Оскільки то tg α і сtgα залежать від знаків sin α і cos α. У І та III чвертях sin α і cos α мають однакові знаки, а у II та IV чвертях різні. Тому tg α > 0 і сtgα > 0, якщо α - кут І або III чверті, і tg α < 0 і сtgα < 0, якщо α - кут II або IV чверті.

Знаки тригонометричних функцій у кожній з чвертей подано

на малюнку 21.

Приклад. Порівняти з нулем: 1) соs152°; 2) tg 3 ∙ sіn4.

Розв'язання. 1) Оскільки 152° - кут II чверті, то соs152° < 0.

2) 3 радіани ≈ 3 ∙ 57° = 171°, тому 3 радіани - кут II чверті і tg3 < 0.

4 радіани ≈ 4 ∙ 57° = 228°, тому 4 радіани - кут III чверті і sіn4 < 0. Остаточно маємо tg 3 ∙ sіn4 > 0.

Косинус - функція парна; синус, тангенс і котангенс - непарні:

Періодом функцій косинус і синус є 360° (2π радіан), а функції тангенс і котангенс - 180° (π радіан).

У вигляді формул це можна записати наступним чином:

3. Виконати самостійно вправи

1) Обчисліть:

2) Спростіть вираз

3) Відомо, що sinx = a, tgx = b. Чому дорівнює значення виразу

sin(2π + x) + tg(π + x)?

4) Відомо, що cosx = a, ctgx = b. Чому дорівнює значення виразу

cos(2π + x) - ctg(2π + x)?

5) Скориставшись графіком функції y = f(x), зображеним на рисунку:

1) назвіть проміжки зростання і спадання та нулі функції;

2) знайдіть f(-5); f(-1); f(0); f(1).

1 , 15 листопада 2021

Група № 1

Алгебра і початки аналізу.

Тема уроків: Застосування похідної до дослідження функцій та побудова графіків функцій

1. Передивіться відео урок за посиланням:

www.youtube.com/watch?v=6OG7SqZcrkI

2. Виконайте тести

Запитання 1

Знайдіть критичні точки функії:

варіанти відповідей

x=-1, x=0

x=1, x=-1, x=0

x=0, x=1

x=-1, x=1

Запитання 2

Знайдіть проміжки зростання і спадання функії та точки екстремуму:

варіанти відповідей:

Запитання 3

Укажіть графік функції, визначеної та неперервної на множині всіх дійсних чисел, користуючись її властивостями , указаними в таблиці:

варіанти відповідей:

Запитання 4

Скіьки коренів має рівняння:

*(використовуючи дослідження функції за допомогою похідної)

варіанти відповідей:

немає жодного кореня;

має один корінь ;

має два кореня;

має три корення

Запитання 5

За якою схемою можна дослідити вастивості функції для побудови її графіка?

варіанти відповідей:

1. Знайти область значеня функії.

2. Дослідитти функцію на парність, непарність, одиничність (для тригонометричних функій)

3. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат .

4. Знайти похідну та критичні точки функії.

5. Знайти проміжки зростання, спадання та екстркмуми функії.

6. Дослідии поведінку функції на кінцях проміжків області визначення, якщо е можливо.

7. За потреби знайти ще кілька точок графіка та використовуючи отримані результати, побудувати графіки функії.

1. Знайти область визначення функії.

2. Дослідитти функцію на парність, непарність, одиничність (для тригонометричних функій)

3. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат .

4. Знайти похідну та критичні точки функії.

5. Знайти проміжки зростання, спадання та екстркмуми функії.

6. Дослідии поведінку функції на кінцях проміжків області визначення, якщо е можливо.

1. Знайти область визначення функії.

2. За потреби знайти ще кілька точок графіка та використовуючи отримані результати, побудувати графіки функії

3. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат .

4. Знайти проміжки зростання, спадання та екстркмуми функії.

5. Знайти похідну та критичні точки функії.

6. Дослідии поведінку функції на кінцях проміжків області визначення, якщо е можливо.

7. Дослідитти функцію на парність, непарність, одиничність (для тригонометричних функій)

1. Знайти похідну та критичні точки функії.Знайти область визначення функії.

2. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат.

3. Дослідитти функцію на парність, непарність, одиничність (для тригонометричних функій).

4. Знайти область визначення функії.

5. Знайти проміжки зростання, спадання та екстркмуми функії.

6. Дослідии поведінку функції на кінцях проміжків області визначення, якщо е можливо.

24 листопада 2021

Група № 3П

Алгебра і початки аналізу.

Тема уроку: Розв'язування задач. Самостійна робота.

1. Передивіться відео урок за посиланням:

www.youtube.com/watch?v=OnfgaHQUVLE

2. Розв'язати задачі в зошиті варіант 1

Група учнів у кількості 20 чоловік підтягувалася на перекладині. Результати підтягування були такі: 12, 14, 9, 10, 10, 12, 11, 8, 9, 7, 10, 10, 13, 15, 10, 9, 14, 10, 11,13. Знайти моду, медіану, середнє значення та побудувати полігон.
У класі 10 дівчат та 7 хлопців. Скількома способами можна вибрати пару (хлопчика та дівчинку) для танців?
Скільки парних трицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, якщо: а) цифри можуть повторюватись; б) цифри не можуть повторюватись.
У коробці лежать 4 сині кулі та кілька червоних. Скільки червоних куль у коробці, якщо ймовірність того, що вибрана навмання куля виявиться синьою, дорівнює ?
У коробці було 23 картки, пронумерованих від 1 до 23. Із коробки навмання взяли одну картку. Яка ймовірність того, що на ній записано число:

1) 11;

2) кратне 6;

3) одноцифрове;

4) у записі якого є цифра 7;

5) у записі якого відсутня цифра 4.

варіант 2

Група учнів у кількості 20 чоловік підтягувалася на перекладині. Результати підтягування були такі: 11, 12, 8, 11, 17, 21, 13, 14, 14, 6, 5, 5, 13, 15, 10, 9, 11, 10, 11,5. Знайти моду, медіану, середнє значення та побудувати полігон.
Кафе пропонує меню з 3 перших страв, 6 других страв та 5 третіх страв. Скількома способами можна вибрати обід з трьох страв?
Скільки непарних трицифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо: а) цифри можуть повторюватись; б) цифри не можуть повторюватись.
У коробці лежать 8 синіх кульок та кілька червоних. Скільки червоних куль у коробці, якщо ймовірність того, що вибрана навмання куля виявиться синьою, дорівнює ?
У коробці було 23 картки, пронумерованих від 1 до 23. Із коробки навмання взяли одну картку. Яка ймовірність того, що на ній записано число:

1) 24;

2) кратне 5;

3) складене;

4) у записі якого є цифра 2;

5) сума цифр якого ділиться націло на 3.

17 листопада 2021

Група №3 П

Алгебра

Тема уроку: Графічне подання інформації про вибірку.

1. Передивіться відео урок за посиланям:

www.youtube.com/watch?v=h2EjoMZBEgg

2. Законспектуйте в зошиті

Приклад 1. Перейти від частот до відносних частот у такому розподілі вибірки обсягом N = 20.

Розв'язання

Знайдемо відносні частоти:

p1 = = 0,15; p2 = = 0,50; p3 = = 0,35.

Тому одержуємо такий розподіл:

Для графічного зображення статистичного розподілу використовуються полігони і гістограми.

Для побудови полігону на осі ОХ відкладають значення варіант хi, на осі ординат - значення частот ni. Точки (хi; ni) з'єднують відрізками прямих і одержують полігон частот.

Приклад 2. Побудувати полігон частот та полігон відносних частот статистичного розподілу з прикладу 1.

На рис. 1 побудовано полігон частот, а на рис. 2 - полігон відносних частот. У випадку інтервального розподілу доцільно будувати гістограму, для чого інтервал, у якому містяться всі значення ознаки, яка спостерігається, розбивають на кілька інтервалів довжиною h і знаходять для кожного інтервалу nі - суму частот варіант, які попали в і-й інтервал.

Гістограмою частот називають східчасту фігуру, яка складається з прямокутників, основами яких є інтервали довжиною h, а висота дорівнює відношенню .

Площа і-го прямокутника дорівнює = n1.

Отже, площа гістограми дорівнює сумі всіх частот, тобто обсягу вибірки. На рис. З подано гістограму за даними табл. 1.